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By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d'approximation est aujourd'hui l'un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Il allie los angeles profondeur de los angeles th?orie math?matique aux promesses d'applications pratiques d'un int?r?t consid?rable. l. a. plupart des probl?mes issus d'applications proper de domaines aussi diff?rents que l. a. notion de circuits VLSI, l. a. belief et los angeles planification de r?seaux, l'ordonnancement, l. a. th?orie des jeux, los angeles biologie ou l. a. th?orie des nombres, sont des probl?mes NP-difficiles. Leur r?solution exacte demanderait des ressources informatiques inaccessibles et ne peut donc ?tre envisag?e. Pour faire face ? cette state of affairs, un grand nombre d'algorithmes proposant des strategies approch?es ? ces probl?mes ont ?t? d?velopp?s. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de los angeles derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d'?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre divulge ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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Example text

2. Concat´ener les mots π1 , . . , πk , dans n’importe quel ordre. 3. Renvoyer le mot s = π1 π2 . . πk obtenu. 11 OPT OPTS 2 · OPT Preuve : Soit {set(πi )|1 i l} une couverture optimale de S, et s un mot obtenu en concat´enant les mots πi , 1 i l, dans n’importe quel ordre. Par d´efinition, |s | = OPTS . Chaque mot de S est facteur d’un des πi , 1 i l, et donc aussi facteur de s . Par cons´equent OPTS = |s | OPT. Soit s∗ un surfacteur minimum de s1 , . . , sn , |s∗ | = OPT. Pour d´emontrer la seconde in´egalit´e, il suffit d’exhiber une couverture par ensembles de coˆ ut inf´erieur a` 2 · OPT.

Ce chemin est un arbre couvrant de R. Un MST de R est donc n´ecessairement de coˆ ut inf´erieur a` 2 · OPT. 3 d´ecrit une 2-approximation directe pour le probl`eme de l’arbre de Steiner m´etrique : calculer un MST des sommets ´etiquet´es requis. De mˆeme que pour la couverture par ensembles, la « bonne » fa¸con de voir cet algorithme est la th´eorie de la dualit´e en programmation lin´eaire. Nous verrons aux chapitres 22 et 23 que la dualit´e en programmation lin´eaire donne le minorant sur lequel cet algorithme est construit et aide a` r´esoudre les g´en´eralisations de ce probl`eme.

Clairement, le retrait d’une coupe non triviale de G d´econnecte G. Consid´erons deux terminaux 2 s, t ∈ V . Une coupe d´efinie par une partition de V qui s´epare s et t, s’appelle une coupe3 entre s et t. Une coupe de poids minimum ou une coupe entre s et t de poids minimum se calculent efficacement en utilisant ´ un algorithme de flot maximum. 1 (Coupe multis´ eparatrice)4 Etant donn´e un ensemble de terminaux S = {s1 , s2 , . . , sk } ⊆ V , une coupe multis´eparatrice est un ensemble d’arˆetes dont le retrait du graphe d´econnecte les terminaux entre eux.

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