Download Analysis für Informatiker: Grundlagen, Methoden, Algorithmen by Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann PDF

By Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

Diese grundlegende Einführung wendet sich an Informatiker im ersten Studienabschnitt und soll die für das Studium benötigten Konzepte und Werkzeuge aus dem Gebiet der research bereitstellen. Um speziell auf die Bedürfnisse des Informatikstudiums einzugehen, haben die Autoren diesem Werk folgende Konzepte zugrunde gelegt:

Algorithmischer Zugang

Schlanke Darstellung

Software als integrativer Bestandteil

Betonung von Modellbildung und Anwendungen der research.

Der Gegenstand des Buches liegt im Spannungsfeld zwischen Mathematik, Informatik und Anwendungen. Hier kommt dem algorithmischen Denken ein hoher Stellenwert zu. Der gewählte algorithmische Zugang beinhaltet:

Entwicklung der Grundlagen der research aus algorithmischer Sichtweise

Vergegenständlichung der Theorie mittels MATLAB- und Maple-Programmen und Java-Applets

Behandlung grundlegender Konzepte und Verfahren der numerischen research.

Das Buch kann ab dem ersten Semester als Vorlesungsgrundlage, als Begleittext zu einer Vorlesung oder im Selbststudium verwendet werden.

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1 = n + 1 und strebt gegen unendlich; f¨ ur q = −1 oszilliert Sn zwischen 1 und 0. In beiden F¨allen divergiert die Reihe. 19 Die n-te Partialsumme der Reihe n Sn = k=1 1 = k(k + 1) n k=1 ∞ 1 k=1 k(k+1) ist 1 1 − k k+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + − + ... − + − =1− . 2 2 3 3 4 n n n+1 n+1 Es handelt sich um eine so genannte Teleskopsumme. Die Reihe konvergiert zu ∞ 1 1 S= = lim 1 − = 1. 20 (Harmonische Reihe) Es handelt sich um die Reihe k=1 k1 . Durch Zusammenfassen in Zweier-, Vierer-, Achter-, Sechzehnerbl¨ocken usw.

Man u dann die Folge ( n a)n≥1 monoton wachsend ist; sie ist auch durch 1 von oben beschr¨ankt. Daher besitzt sie einen √ Grenzwert b. W¨are b < 1, so g¨abe es zu ur alle n ≥ n(ε) in der Umgebung Uε (b) ε = (1 − b)/2 ein n(ε), sodass n a f¨ zu liegen kommt und damit kleiner gleich b + ε = (1 + b)/2 < 1 w¨are. Damit n folgt aber a ≤ ((1 + b)/2) f¨ ur alle n ≥ n(ε), was wegen (1 + b)/2 < 1 zur Folge h¨atte, dass a = 0 ist. Folglich muss b = 1 sein. 3 Unendliche Reihen Summen der Form ∞ ak = a1 + a2 + a3 + .

3−i F¨ uhren Sie diese Berechnungen auch in MATLAB durch. 2. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = reiϕ dar und skizzieren Sie sie in der komplexen Zahlenebene: 42 4 Komplexe Zahlen z = −1 − i, z = −5, z = 3i, z = 2 − 2i. 3. Berechnen Sie die beiden komplexen L¨ osungen der Gleichung z 2 = 2 + 2i mit Hilfe des Ansatzes z = x + iy und Gleichsetzen von Real- und Imagin¨ arteil. Testen und erkl¨ aren Sie die MATLAB -Befehle roots([2,0,-2 - 2 *i]) sqrt(2 + 2 *i) 4. Berechnen Sie die beiden komplexen L¨ osungen der Gleichung z 2 = 2 + 2i in der Form z = reiϕ aus der Polardarstellung von 2 + 2i.

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